class: center, middle, inverse, title-slide .title[ # Teoria da Produção ] .subtitle[ ## Apêndice - Curto e Longo Prazos ] .author[ ### Prof. Mauricio Uriona Maldonado ] .institute[ ### EPS 5222 ] .date[ ### 29/09/2022 ] --- class: center, middle # Produção no Curto Prazo --- # Função de Produção no curto prazo - Vamos começar entendendo a forma de uma função de produção quando apenas um insumo é variável. | L| Q| |--:|-----:| | 1| 4.5| | 2| 18.0| | 4| 60.0| | 5| 82.5| | 6| 102.0| | 7| 115.5| | 8| 120.0| | 9| 112.5| | 10| 90.0| --- # Graficar - Os dados da tabela podem ser representados como uma função de produção: `$$Q_{(L)}=-0.5L^3+6L^2-L$$` -- <img src="index_files/figure-html/unnamed-chunk-2-1.png" width="576" /> --- # Calculando PMg e PMe - O PMg pode ser entendido como a derivada `$$\frac{\partial Q_{(L)}}{\partial L}$$` -- - No nosso caso: `$$\frac{\partial Q_{(L)}}{\partial L}=-1.5L^2+12L-1$$` -- - Já, o PMe pode ser entendido como o produto médio por unidade de trabalho: `$$\frac{Q_{(L)}}{L}$$` -- - No nosso caso: `$$\frac{Q_{(L)}}{L}=-0.5L^2+6L-1$$` --- # Tabela com Q, L, PMg e PMe
--- # Graficando o PMg e o PMe (1 de 2) -- - Vamos graficar o PMg e o PMe para entender suas trajetórias -- <img src="index_files/figure-html/unnamed-chunk-4-1.png" width="576" style="display: block; margin: auto;" /> -- - Conforme a figura, o PMg cresce até atingir um máximo e logo cair rapidamente, já o PMe apresenta um comportamento mais estável. --- # Graficando o PMg e o PMe (2 de 2) - Uma propriedade interessante é que o máximo do PMe é exatamente o ponto onde cruza com o PMg. -- -- <img src="index_files/figure-html/unnamed-chunk-5-1.png" width="576" style="display: block; margin: auto;" /> --- class: center, middle, inverse # Produção no Longo Prazo --- # Função de Produção no Longo Prazo -- - No longo prazo, a função de produção `\(Q\)` depende do Trabalho `\(L\)` e do Capital `\(K\)` -- - Uma função de produção comumente usada é a *Cobb-Douglas* que tem a forma: `$$Q_{(K,L)}=AK^\alpha L^\beta$$` -- - Onde: `\(A\)` é uma constante e `\(\alpha+\beta=1\)` -- - Vamos assumir que `\(\alpha=0.5\)` e que `\(\beta=0.5\)` --- # Isoquantas
--- # Graficar em 3D - As isoquantas são, na verdade, um plano.
--- # Rendimentos de escala -- - Rendimentos crescentes: quando a produção mais do que dobra se dobrarem os insumos -- - Rendimentos constantes: quando a produção dobra proporcionalmente a dobrarem os insumos -- - Rendimentos decrescentes: quando a produção cresce menos do que o dobro se dobrarem os insumos -- - Em funções Cobb-Douglas, é fácil identificar o tipo de rendimentos à escala -- - Se `\(\alpha+\beta < 1\)` então **Rendimentos Decrescentes** -- - Se `\(\alpha+\beta = 1\)` então **Rendimentos Constantes** -- - Se `\(\alpha+\beta > 1\)` então **Rendimentos Crescentes** --- # Rendimentos de escala constantes ```r ggplotly(crs) ```
--- # Rendimentos de escala crescentes - `\(\alpha\)` = 0.6 e `\(\beta\)` = 1 ```r utility_Ki <- function(my_L, my_Q) { (my_Q^(1/0.6))/my_L^(1/0.6) } irs <- rs %>% mutate(u100 = utility_Ki(x, 100), u200 = utility_Ki(x,200), u400 = utility_Ki(x,400), u800 = utility_Ki(x,800)) %>% pivot_longer(2:5, values_to = "K") %>% ggplot(aes(x, K, color=name))+ geom_line()+ scale_x_continuous(expand = c(0, 0), breaks = seq(0, 200, 20), labels = scales::comma) + scale_y_continuous(expand = c(0, 0), breaks = seq(0, 8000, 1000), labels = scales::comma) + coord_cartesian(xlim = c(0, 210), ylim = c(0, 8100))+ theme_classic()+ theme(axis.text=element_text(size=16), axis.title=element_text(size=16, face="bold"), legend.position = "none")+ labs(x = "Trabalho (L)", y = "Capital (K)") ggplotly(irs) ```
--- # Rendimentos de escala decrescentes - `\(\alpha\)` = 0.4 e `\(\beta\)` = 0.1 ```r utility_Kd <- function(my_L, my_Q) { (my_Q^(1/0.4))/my_L^(0.1/0.4) } drs <- rs %>% mutate(u100 = utility_Ki(x, 100), u200 = utility_Ki(x,200), u400 = utility_Ki(x,400), u800 = utility_Ki(x,800)) %>% pivot_longer(2:5, values_to = "K") %>% ggplot(aes(x, K, color=name))+ geom_line()+ scale_x_continuous(expand = c(0, 0), breaks = seq(0, 200, 20), labels = scales::comma) + scale_y_continuous(expand = c(0, 0), breaks = seq(0, 8000, 1000), labels = scales::comma) + coord_cartesian(xlim = c(0, 210), ylim = c(0, 8100))+ theme_classic()+ theme(axis.text=element_text(size=16), axis.title=element_text(size=16, face="bold"), legend.position = "none")+ labs(x = "Trabalho (L)", y = "Capital (K)") ggplotly(drs) ```
--- class: center, middle # Fim do Apêndice Prof. Mauricio Uriona Maldonado